Question

已知關(guān)于x的方程x²-（a+b）x+ab-1=0，x₁、x₂是此方程的兩個實數(shù)根，現(xiàn)給出三個結(jié)論：①x₁≠x₂；②x₁x₂＜ab；③x₁²+x₂²＜a²+b²；④當(dāng)a+b=ab時，方程有一根為1．則正確結(jié)論的序號是

①②④

．（填上你認為正確結(jié)論的所有序號）

Answer 1

分析：先計算判別式得到△=a-b）²+4＞0，根據(jù)判別式的意義可對①進行判斷；根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到x₁x₂=ab-1，則可對②進行判斷；根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到x₁+x₂=a+b，x₁x₂=ab-1，再利用完全平方公式計算得到x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=（a+b）²-2（ab-1）=a²+b²+2，則可對③進行判斷；由a+b=ab得到x₁+x₂=x₁x₂+1，然后移項后分解因式得到x₁=1，x₂=1，則可對④進行判斷．

解答：解：∵△=（a+b）²-4（ab-1）=（a-b）²+4＞0，
∴方程有兩個不相等的實數(shù)根，所以①正確；
∵x₁x₂=ab-1，
∴x₁x₂＜ab，所以②正確；
∵x₁+x₂=a+b，x₁x₂=ab-1，
∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=（a+b）²-2（ab-1）=a²+b²+2，
∴x₁²+x₂²，＞a²+b²，所以③錯誤；
∵a+b=ab，
∴x₁+x₂=x₁x₂+1，
∴x₁x₂-（x₁+x₂）+1=0，
∴（x₁-1）（x₂-1）=0，
∴x₁=1，x₂=1．所以④正確．
故答案為①②④．

點評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根與系數(shù)的關(guān)系：x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根時，x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

．也考查了一元二次方程根的判別式．