Question

（2004•海淀區）已知：如圖所示，A、K為圓O上的兩點，直線FN⊥MA，垂足為N，FN與圓O相切于點F，∠AOK=2∠MAK．
（1）求證：MN是圓O的切線；
（2）若點B為圓O上一動點，BO的延長線交圓O于點C，交NF于點D，連接AC并延長交NF于點E．當FD=2ED時，求∠AEN的余切值．

Answer 1

【答案】分析：（1）要證MN是圓O的切線，只要證得∠OAM=90°即可；
（2）要求它的余切值，需要求得EN：AN的值，根據切割線定理和已知條件找到線段之間的關系，從而根據銳角三角函數的概念求解．
解答：（1）證明：∵OA=OK，
∴∠3=∠AKO．
∵∠2+∠3+∠AKO=180°，∠AOK=2∠MAK，
∴∠MAK+∠OAK=90°；
∴MN是圓O的切線．

（2）解：∵MN是圓O的切線，
∴∠1=∠B，
∴∠4=∠2．
又∵∠2=∠3，
∴∠4=∠3，
∴DC=DE．
∵NF切圓O于F，
∴∠OFN=90°，
又∵∠NAO=90°，
∴四邊形AOFN是矩形．
∵OA=OF，
∴矩形AOFN是正方形，
∴AN=NF=OF．
∵NF切圓O于F，
∴FD²=DC•DB．
∵FD=2ED，
設ED=x，則CD=ED=x，
∴（2x）²=x（x+2r），
解得x=r．
在△AEN中，∠ANE=90°，
cot∠AEN=，
cot∠AEN==3，
同理：x=r．
在△AEN中，∠ANE=90°．
cot∠AEN=，
∴∠AEN的余切值為3或．
點評：此題綜合運用了切線的判定和性質、切割線定理以及銳角三角函數的概念．