Question

如圖，已知直線MN經過⊙O上的點A，點B在MN上，連OB交⊙O于C點，且點C是OB的中點，AC=

1

2

OB，若點P是⊙O上的一個動點，當AB=2

3

時，求△APC的面積的最大值．

Answer 1

分析：連接OA，過點O作OE⊥AC于E，延長EO交圓于點F，則P（F）E是△PAC的AC邊上的最大的高，根據已知及三角函數求得AC，PE的值，再根據三角形的面積公式不難求得△APC的面積的最大值．

解答：解：連接OA；
∵C是OB的中點，且AC=

1

2

OB，
∴∠OAB=90°（2分），
∴∠O=60°，
∴OA=AC=2；
過點O作OE⊥AC于E，延長EO交圓于點F，則P（F）E是△PAC的AC邊上的最大的高；（1分）
在△OAE中，OA=2，∠AOE=30°，
∴OE=

3

（1分），
∴PE=2+

3

（1分），
∴S△PAC=

1

2

AC•PE=

1

2

×2×(2+

3

)，
即S△PAC=2+

3

．（1分）

點評：解此題的關鍵是把有關圓的知識抽象到解三角形中來進行解答．