Question

（1997•山東）如圖，已知A是⊙O上一點，以A為圓心作圓交⊙O于B、C兩點，E是弦BC上一點，連接AE并延長⊙O于D，連接BD、CD．設∠BDC=2α．
（1）求證：BD•CD=AD•ED；
（2）若ED：AD=

3

4

cos²α，求作一個以

DB

AD

和

CD

AD

為根的一元二次方程，并求出

BD

CD

的值．

Answer 1

分析：（1）如圖，連接AB、AC．通過證明△DBA∽△DEC，得到對應邊成比例，即BD：DE=AD：CD，所以BD•CD=AD•ED；
（2）如圖，過點A作AF⊥BC于點F．則F為BC的中點．通過△ABE∽△ADB的對應邊成比例得到

BD

AD

=

BE

AB

．通過△AEC∽△ACD的對應邊成比例得到

CD

AD

=

EC

AC

，然后求得以

DB

AD

和

CD

AD

為根的一元二次方程兩根之和和兩根之積分別是

BD

AD

+

CD

AD

=2cosα，

BD

AD

•

CD

AD

=

AD•ED

AD2

=

ED

AD

=

3

4

cos²α，所以該方程為x²-2cosα•x+

3

4

cos²α=0．解得，x₁=

1

2

cosα，x₂=

3

2

cosα．需要分類討論：當BD＜CD時，

BD

CD

=

BD AD

CD AD

=

x1

x2

=

1

3

；當BD＞CD時，

BD

CD

=

BD AD

CD AD

=

x2

x1

=3．

解答：（1）證明：如圖，連接AB、AC．
∵A是⊙O上一點，以A為圓心作圓交⊙O于B、C兩點，
∴AB=AC，

AC

=

AB

，
∴∠ADB=∠ADC，．
又∵∠BAD=∠BCD，
∴△DBA∽△DEC，
∴BD：DE=AD：CD，
∴BD•CD=AD•ED；

（2）如圖，過點A作AF⊥BC于點F．則F為BC的中點．
∵∠BDC=2α．
∴∠ACB=∠ABC=α，則FC=AC•cosα，
∴BC=2FC=2AC•cosα．
∵∠ABE=∠ADB，∠BAD=∠BAE，
∴△ABE∽△ADB，
∴

BD

AD

=

BE

AB

．
同理，△AEC∽△ACD，則

CD

AD

=

EC

AC

，
∴

BD

AD

+

CD

AD

=

BE

AB

+

EC

AC

=

BE+EC

AC

=

BC

AC

=2cosα．
又由（1）知，BD•CD=AD•ED，
∴

BD

AD

•

CD

AD

=

AD•ED

AD2

=

ED

AD

=

3

4

cos²α，
∴以

DB

AD

和

CD

AD

為根的一元二次方程為x²-2cosα•x+

3

4

cos²α=0．
解得，x₁=

1

2

cosα，x₂=

3

2

cosα．
當BD＜CD時，

BD

CD

=

BD AD

CD AD

=

x1

x2

=

1

3

；
當BD＞CD時，

BD

CD

=

BD AD

CD AD

=

x2

x1

=3．

點評：本題綜合考查了相交兩圓的性質，垂徑定理，相似三角形的判定與性質以及一元二次方程等知識點．難度比較大．