Question

5．小志和小明選擇一個土坡進行跑步訓練，他們按同一路線同時出發，從坡腳跑到坡頂再原路返回坡腳，兩人上坡的平均速度不同，下坡的平均速度則是各自上坡平均速度的1.5倍，設兩人出發xmin后距出發點的距離為ym，圖中折線表示小志在整個訓練中y與x的函數關系，其中A點在x軸上，M點坐標為（2，0）．
（1）請說出點A所表示的實際意義，并求出$\frac{OM}{MA}$的值；
（2）求出AB所在直線的函數關系式；
（3）如果小明上坡的平均速度是小志上坡平均速度的一半，那么兩人出發后多長時間第一次相遇？

Answer 1

分析 （1）根據速度=路程÷時間即可求出小志上坡的平均速度，再由他上下破速度間的關系可求出下坡的平均速度，根據時間=路程÷速度即可算出小志下坡所有時間，從而找出點A坐標，由此即可得出結論；
（2）設AB所在直線的函數關系式為y=kx+b（2≤x≤$\frac{10}{3}$），由點A、B的坐標利用待定系數法即可求出函數解析式；
（3）根據小明與小志上坡速度間的關系求出小明上坡的速度，由此即可得出小明上坡的函數關系式，聯立小志下坡的函數關系式成方程組，解方程組即可得出結論．

解答 解：（1）小志上坡的平均速度為：480÷2=240（m/min），
小志下坡的平均速度為：240×1.5=360（m/min），
小志下坡所用時間為：480÷360=$\frac{4}{3}$（min）．
∴A點的坐標為（2+$\frac{4}{3}$，0），即（$\frac{10}{3}$，0）．
故A點表示的實際意義為：小志出發$\frac{10}{3}$分鐘回到了出發點．
$\frac{OM}{MA}$=$\frac{2}{\frac{4}{3}}$=$\frac{3}{2}$．
（2）設AB所在直線的函數關系式為y=kx+b（2≤x≤$\frac{10}{3}$），
將B（2，480）與A（$\frac{10}{3}$，0）代入y=kx+b中，
得：$\left\{\begin{array}{l}{480=2k+b}\\{0=\frac{10}{3}k+b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-360}\\{b=1200}\end{array}\right.$，
∴AB所在直線的函數關系式為y=-360x+1200（2≤x≤$\frac{10}{3}$）．
（3）∵小明上坡的平均速度是小志上坡平均速度的一半，
∴小明上坡的平均速度為：240÷2=120（m/min），
小明上坡所用的時間為：480÷120=4（min），
∴小明上坡的函數關系式為y=120x（0≤x≤4）．
聯立小明上坡與小志下坡函數關系式得：
$\left\{\begin{array}{l}{y=120x}\\{y=-360x+1200}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{5}{2}}\\{y=300}\end{array}\right.$．
答：兩人出發$\frac{5}{2}$min后第一次相遇．

點評 本題考查了一次函數的應用、待定系數法求函數解析式以及一次函數的圖象，解題的關鍵是：（1）求出點A的坐標；（2）利用待定系數法求函數解析式；（3）解方程組解決相遇問題．本題屬于中檔題，難度不大，但稍顯繁瑣，解決該題型題目時，找出點的坐標，再利用待定系數法求出函數關系式是關鍵．