Question

（2007•中山區二模）如圖在平面直角坐標系中，O為坐標原點，A、B兩點在x軸上且B在A點右側，過點A和B做x軸垂線，分別交二次函數y=x²的圖象與C、D兩點，直線OC交BD于M．
（1）若A點坐標為（1，0），B點坐標為（2，0），求證：S_△CMD：S_{四邊形ABMC}=2：3
（2）將A、B兩點坐標改為A（t，0），B（2t，0）（t＞0），其他條件不變，（1）中結論是否成立？請驗證．
附加題：將y=x²改為y=ax²（a＞0），其他條件不變，（1）中結論是否成立？請驗證．

Answer 1

分析：（1）可先根據AB=OA得出B點的坐標，然后根據拋物線的解析式和A，B的坐標得出C，D兩點的坐標，再依據C點的坐標求出直線OC的解析式．進而可求出M點的坐標，然后根據C、D兩點的坐標求出直線CD的解析式進而求出D點的坐標，然后可根據這些點的坐標進行求解即可；
（2）及附加題的解法同（1）完全一樣．

解答：（1）∵A點坐標為A（1，0）B（2，0）
∴C點坐標為（1，1），D（2，4）
設直線OC解析式為y=kx過點C（1，1）
∴k=1y=x
∴M坐標為（2，2）
∴S_△CMD=1，S ABMC=

3

2

∴S_△CMD：S_ABMC=2：3；

（2）結論仍然成立，∵A點坐標A（1，0），B為（2，0）
∴C（1，a），D（2，4a）
設直線OC解析式為y=kx過點C（1，a）
∴k=a∴y=ax
點M在直線OC上，當x=2y時，y=2a
∴M（2，2a）
S_△OMD：S_ABNC=[

1

2

×(4a-2a)]：[

1

2

(a+2a)×2a]=2：3
結論成立

附加題：
∵A（t，0）B（2t，0）
∴C坐標為C（t，at²+bt），D（2t，4at²+2bt）
直線OC解析式為y=（at+b）x
M在直線OC上，∴M（2t，2at²+2bt）
∴S_△OMD：S_ABMC=2：3

點評：本題主要考查了二次函數的綜合及圖形面積的求法、函數圖象的交點等知識點，本題是一題多變題，在中考中經常出現．