Question

如圖，點D、E分別在AB、AC上，AD=AE，∠B=∠C，CD與BE交于點O． 
（1）試證BD=CE；
（2）連接BC，畫直線AO，則直線AO與BC有何關系？證明你的猜測．

Answer 1

分析：（1）首先證明△ABE≌△ACD，根據全等三角形的性質可以證出AB=AC，再利用線段的和差關系可得到BD=CE；
（2）首先證明△DBO≌和△ECO可得OB=OC，根據到線段兩短點距離相等的點在線段的垂直平分線上可知O在線段BC的垂直平分線上，再根據AB=AC，可得A在線段BC的垂直平分線上，根據兩點確定一條直線可得到直線AO是BC的垂直平分線．

解答：解：（1）證明：
在△ABE和△ACD中，

∠B=∠C ∠A=∠A AD=AE

(已知) (公共角) (已知)

，
∴△ABE≌△ACD（AAS），
∴AB=AC（全等三角形的對應邊相等），
∵AE=AD（已知）
∴BD=CE；

（2）直線AO是BC的垂直平分線，
理由如下：
在△DBO和△ECO中

DB=EC ∠ABE=∠ACD ∠DOB=∠EOC

，
∴△DBO≌和△ECO（AAS），
∴OB=OC，
∴O在線段BC的垂直平分線上（到線段兩短點距離相等的點在線段的垂直平分線上），
∵AB=AC，
∴A在線段BC的垂直平分線上，
∴直線AO是BC的垂直平分線．

點評：此題主要考查了全等三角形的判定與性質，關鍵是熟練把握判定三角形全等的條件，以及全等三角形對應邊相等，對應角相等．