Question

已知直線與x軸和y軸分別交于點A和點B，拋物線的頂點M在直線AB上，且拋物線與直線AB的另一個交點為N．

（1）如圖，當點M與點A重合時，求：

①拋物線的解析式；（4分）

②點N的坐標和線段MN的長；（4分）

（2）拋物線在直線AB上平移，是否存在點M，使得△OMN與△AOB相似？若存在，直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由．（4分）

 

Answer 1

【答案】

（1）①②N（，－4），（2）存在。點M的坐標為（2，－1）或（4，3）

【解析】解：（1）①∵直線與x軸和y軸分別交于點A和點B，∴A（，0），B（0，－5）。

當頂點M與點A重合時，∴M（，0）。

∴拋物線的解析式是：，即。

②∵N是直線與在拋物線的交點，

∴，解得或。

∴N（，－4）。

如圖，過N作NC⊥x軸，垂足為C。

∵N（，－4），∴C（，0）

∴NC=4．MC=OM－OC=。

∴。

（2）存在。點M的坐標為（2，－1）或（4，3）。

（1）①由直線與x軸和y軸分別交于點A和點B，求出點A、B的坐標，由頂點M與點A重合，根據二次函數的性質求出頂點解析式。

②聯立和，求出點N的坐標，過N作NC⊥x軸，由勾股定理求出線段MN的長。

（2）存在兩種情況，△OMN與△AOB相似：

   情況1，∠OMN=90⁰，過M作MD⊥x軸，垂足為D。

   設M（m，），則OD= m，DM=。

   又OA=，OB=5，

  則由△OMD∽△BAO得，，即，解得m=2。

∴M（2，－1）。

   情況2，

∠ONM=90⁰，若△OMN與△AOB相似，則∠OMN=∠OBN。

 ∴OM=OB=5。

 設M（m，），則解得m=4。

∴M（4，3）。

綜上所述，當點M的坐標為（2，－1）或（4，3）時，△OMN與△AOB相似。