Question

如圖，在平面直角坐標系中，有一條直線l：與x軸、y軸分別交于點M、N，一個高為3的等邊三角形ABC，邊BC在x軸上，將此三角形沿著x軸的正方向平移．

（1）在平移過程中，得到△A₁B₁C₁，此時頂點A₁恰落在直線l上，寫出A₁點的坐標　   　；
（2）繼續向右平移，得到△A₂B₂C₂，此時它的外心P恰好落在直線l上，求P點的坐標；
（3）在直線l上是否存在這樣的點，與（2）中的A₂、B₂、C₂任意兩點能同時構成三個等腰三角形？如果存在，求出點的坐標；如果不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）（，3）。
（2）P（3，1）。
（3）存在四個點，與（2）中的A₂、B₂、C₂任意兩點能同時構成三個等腰三角形，分別是P（3，1），Q（，3），S（4﹣3，），R（4+3，﹣）。

試題分析：（1）∵等邊三角形ABC的高為3，∴A₁點的縱坐標為3。
∵頂點A₁恰落在直線l上，∴，解得；x=。
∴A₁點的坐標是（，3）。
（2）設P（x，y），連接A₂P并延長交x軸于點H，連接B₂P，先求出A₂B₂=2，HB₂=，根據點P是等邊三角形A₂B₂C₂的外心，得出PH=1，將y=1代入，即可得出點P的坐標。
設P（x，y），連接A₂P并延長交x軸于點H，連接B₂P，
在等邊三角△A₂B₂C₂中，高A₂H=3，
∴A₂B₂=2，HB₂=。
∵點P是等邊三角形A₂B₂C₂的外心，
∴∠PB₂H=30°。
∴PH=1，即y=1。
將y=1代入，解得：x=3。
∴P（3，1）。
（3）分四種情況分別討論。
∵點P是等邊三角形A₂B₂C₂的外心，
∴△PA₂B₂，△PB₂C₂，△PA₂C₂是等腰三角形，
∴點P滿足的條件，由（2）得P（3，1）。

由（2）得，C₂（4，0），點C₂滿足直線的關系式，∴點C₂與點M重合。
∴∠PMB₂=30°。
設點Q滿足的條件，△QA₂B₂，△B₂QC₂，△A₂QC₂能構成等腰三角形，
此時QA₂=QB₂，B₂Q=B₂C₂，A₂Q=A₂C₂。
作QD⊥x軸與點D，連接QB₂，
∵QB₂=2，∠QB₂D=2∠PMB₂=60°，∴QD=3，∴Q（，3）。
設點S滿足的條件，△SA₂B₂，△C₂B₂S，△C₂PA₂是等腰三角形，
此時SA₂=SB₂，C₂B₂=C₂S，C₂A₂=C₂S。
作SF⊥x軸于點F，
∵SC₂=2，∠SB₂C₂=∠PMB₂=30°，∴SF=。∴S（4﹣3，）。
設點R滿足的條件，△RA₂B₂，△C₂B₂R，△C₂A₂R能構成等腰三角形，
此時RA₂=RB₂，C₂B₂=C₂R，C₂A₂=C₂R。
作RE⊥x軸于點E，
∵RC₂=2，∠RC₂E=∠PMB₂=30°，∴ER=。∴R（4+3，﹣）。
綜上所述，存在四個點，與（2）中的A₂、B₂、C₂任意兩點能同時構成三個等腰三角形，分別是P（3，1），Q（，3），S（4﹣3，），R（4+3，﹣）。