Question

【題目】知識背景：我們在第十一章《三角形》中學習了三角形的邊與角的性質，在第十二章《全等三角形》中學習了全等三角形的性質和判定，在第十三章《軸對稱》中學習了等腰三角形的性質和判定.在一些探究題中經常用以上知識轉化角和邊，進而解決問題.

問題：如圖1，是等腰三角形，，是的中點，以為腰作等腰，且滿足，連接并延長交的延長線于點，試探究與之間的數量關系.

圖1

發現：（1）與之間的數量關系為 .

探究：（2）如圖2，當點是線段上任意一點（除、外）時，其他條件不變，試猜想與之間的數量關系，并證明你的結論.

圖2

拓展：（3）當點在線段的延長線上時，在備用圖中補全圖形，并直接寫出的形狀.

備用圖

Answer 1

【答案】（1）；（2），證明見解析；（3）畫圖見解析，等腰直角三角形.

【解析】

（1）根據等腰三角形的性質即可得；

（2）由等腰直角三角形的性質可得，再根據全等三角形的性質及等角對等邊即可證明；

（3）作出圖形，根據等腰三角形性質易證，進而根據角度的代換，得出結論．

解：（1）.

∵△ABC是等腰三角形，且，

，.

，

，

，

.

是以為腰的等腰三角形，

.

在與中，，，，

，

.

，

，

，

，

，

.

（2）.

證明：是等腰三角形，且，

，.

，

，

，

.

是以為腰的等腰三角形，

.

在與中，，，，

，

.

，

，

，

，

，

.

（3）是等腰直角三角形.

提示：如圖，

是等腰三角形，，

，.

，

，

，

.

是以為腰的等腰三角形，

.

在與中，，，，

，

.

，

，

，

，

，

是等腰三角形，

，

是等腰直角三角形.