Question

（2004•衢州）如圖，在平面直角坐標系中，已知△ABC的頂點坐標分別為A（0，3）B（-2，0），C（m，0），其中m＞0．以OB，OC為直徑的圓分別交AB于點E，交AC于點F，連接EF．
（1）求證：△AFE∽△ABC；
（2）是否存在m的值，使得△AEF是等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由；
（3）觀察當點C在x軸上移動時，點F移動變化的情況．試求點C₁（，0）移動到點C₂（3，0）點F移動的行程．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用切線長定理，得到相應線段成比例，再加上公共角相等，可得到兩三角形相似；
（2）按邊相等的不同情況討論；
（3）按CO為直徑，則∠OFC=90°，可得到∠AFO=90°，并且OA為定值，即可得到點F移動的行程為以OA的直徑上的一段弧長．
解答：（1）證明：∵AO是兩圓內的公切線，
∴AO²=AE•AB=AF•AC，
∴=
又∵∠FAE=∠BAC
∴△AFE∽△ABC；

（2）解：∵△AFE∽△ABC，
∴==，
當AF=AE，即AB=AC時，OC=OB
∴m=2，
當AE=FE，即AB=BC時，=2+m，
∴m=-2
當AF=FE，即AC=BC時，9+m²=（2+m）²，
解得m=
∴m的值為2或-2或；

（3）解：∠AFO始終為直角，且OA為定值
∴OA=3，OC₁=，
∴tan∠OAC₁=，
∴∠OAC₁=30°，
同理可得∠OAC₂=60°
∴∠C₁AC₂=30°
∴點F移動的行程為 ．
點評：本題用到的知識點為：對應邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似．直徑所對的圓周角是90°以及三角函數值等．需注意探索圖形變化過程中運用數學思想方法的能力，如變與不變的辯證思想、轉化思想、方程思想、數形結合思想、分類討論思想等．