Question

已知k是大于2的整數，拋物線y₁=x²-2x+k-2與x軸有兩個不同的交點，與y軸交于點A，直線y₂=（k-2）x+b經過拋物線的頂點M且與拋物線交于點B，與y軸交于點C（如圖）
（1）求y₁與y₂的函數解析式．
（2）求證：AB是△AMB的外接圓直徑．
（3）求證：∠CAM=∠MBA且CA²=CM•CB．

Answer 1

（1）解：∵拋物線y₁=x²-2x+k-2與x軸有兩個不同的交點，
∴△＞0，即2²-4××（k-2）＞0，解得k＜4，
而k是大于2的整數，
∴k=3，
∴y₁=x²-2x+1；
∴頂點M的坐標為（2，-1），
而y₂=x+b，
把M（2，-1）代入得，-1=2+b，解得b=-3，
∴y₂=x-3；

（2）證明：如圖，拋物線的對稱軸交AB與D點，
解方程組得或，
∴B點坐標為（4，1），
而A點坐標為（0，1），
∴AB平行于x軸，
∴AB⊥MD，DA=DB，
∴MD=1-（-1）=2，而AB=4，
∴MD=AB，
∴△MAB為等腰直角三角形，即∠AMB=90°，
∴AB是△AMB的外接圓直徑；

（3）證明：∴AB∥x軸，
∴∠BAO=90°，
∴Rt△CAM∽Rt△CBA，
∴∠CAM=∠MBA，CA：CB=CM：CA，即CA²=CM•CB．
分析：（1）拋物線與x軸有兩個交點則△＞0，即2²-4××（k-2）＞0，而k是大于2的整數，即可得到k的值，確定拋物線的解析式，根據頂點坐標公式得到其頂點M的坐標，然后把M點坐標代入y₂=x+b可確定直線的解析式；
（2）先聯立拋物線與直線的解析式得到方程組，解方程組得到B點坐標（4，1），于是有AB平行于x軸，易AB⊥MD，DA=DB，并且MD=AB，根據等腰直角三角形的判定方法得到△MAB為等腰直角三角形，即∠AMB=90°，再根據圓周角定理的推論即可得到結論；
（3）易證得Rt△CAM∽Rt△CBA，根據相似三角形的性質即可得到結論．
點評：本題考查了點在二次函數圖象上，則點的橫縱坐標滿足其解析式以及二次函數y=ax²+bx+c（a≠0）的頂點坐標（-，）．也考查了等腰直角三角形和圓周角定理的推論以及三角形相似的判定與性質．