Question

如圖，在△ABC中，AD交邊BC于點D，∠BAD=15°，∠ADC=4∠BAD，DC=2BD．
（1）求∠B的度數；
（2）求證：∠CAD=∠B．

Answer 1

（1）解：∵∠BAD=15°，∠ADC=4∠BAD，
∴∠ADC=60°，
∴∠B=60°-15°=45°；

（2）證明：過C作CE⊥AD于E，連接EB．
∵∠ECD=90°-60°=30°
∴DC=2ED，
∵DC=2BD，
∴ED=BD，
∴∠DBE=∠DEB=∠ECD=30°，
∴∠EBA=45°-30°=15°=∠BAD，
∴AE=EC=EB，
∴∠CAD=∠ABD=45°．
分析：（1）根據已知可求得∠ADC的度數，再根據三角形外角的性質即可求得∠B的度數．
（2）過C作CE⊥AD于E，連接EB，根據直角三角形中30度所對的邊是斜邊的一半及已知可推出BD=ED，從而可得到∠DBE=∠DEB=∠ECD=30°，從而可求得∠EBA=∠BAD，根據等角對等邊可得AE=EC=EB，再利用等邊對等角的性質即可證得結論．
點評：此題主要考查含30度角的直角三角形的性質及三角形外角的性質的綜合運用．