Question

【題目】如圖，等邊△ABC 中，高線 AD=6，點P從點 A出發，沿著AD運動到點 D停止，以CP為邊向左下方作等邊△CPQ，連接BQ，DQ.

（1）請說明：△ACP ≌△BCQ；

（2）在點P的運動過程中，當△BDQ是等腰三角形時，求∠BDQ的度數；

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）∠BDQ=30°或75°或120°.

【解析】試題分析：（1）由等邊三角形的性質得AC=BC，PC=QC，∠ACB=∠PCQ=60°，由邊角邊證得△ACP≌△BCQ；（2）由全等三角形的性質以及等邊三角形的性質可得∠QBD=30°，由等腰三角形的性質，分情況求出∠BDQ.

試題解析：（1）∵△ABC和△PQC是等邊三角形，

∴AC=BC，PC=QC，∠ACB=∠PCQ=60°，

又∵∠ACP=60°-∠BCP，∠BCQ=60°-∠BCP，

∴∠ACP=∠BCP

在△ACP和△BCQ中，

∴△ACP≌△BCQ（SAS）.

（2）由（1）知，△ACP ≌△BCQ，

∴∠QBD=∠PAC=30°，

當△BDQ 是等腰三角形時，

①若BQ=QD，如圖1，則∠BDQ=30°；

②若BQ=BD，如圖2，則∠BDQ=75°；

③若BD=DQ，如圖3，則∠BDQ=120°.