Question

【題目】如圖①，在矩形ABCD中，BC＝60cm．動點P以6cm/s的速度在矩形ABCD的邊上沿A→D的方向勻速運動，動點Q在矩形ABCD的邊上沿A→B→C的方向勻速運動．P、Q兩點同時出發，當點P到達終點D時，點Q立即停止運動．設運動的時間為t(s)，△PDQ的面積為S(cm2)，S與t的函數圖象如圖②所示．

（1）AB＝　 　cm，點Q的運動速度為　 　cm/s；

（2）在點P、Q出發的同時，點O也從CD的中點出發，以4cm/s的速度沿CD的垂直平分線向左勻速運動，以點O為圓心的⊙O始終與邊AD、BC相切，當點P到達終點D時，運動同時停止．

①當點O在QD上時，求t的值；

②當PQ與⊙O有公共點時，求t的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）30，6；（2）①；②≤t≤．

【解析】

（1）設點Q的運動速度為a，則由圖②可看出，當運動時間為5s時，△PDQ有最大面積450，即此時點Q到達點B處，可列出關于a的方程，即可求出點Q的速度，進一步求出AB的長；

（2）①如圖1，設AB，CD的中點分別為E，F，當點O在QD上時，用含t的代數式分別表示出OF，QC的長，由OF＝QC可求出t的值；

②設AB，CD的中點分別為E，F，⊙O與AD，BC的切點分別為N，G，過點Q作QH⊥AD于H，如圖2﹣1，當⊙O第一次與PQ相切于點M時，證△QHP是等腰直角三角形，分別用含t的代數式表示CG，QM，PM，再表示出QP，由QP＝QH可求出t的值；同理，如圖2﹣2，當⊙O第二次與PQ相切于點M時，可求出t的值，即可寫出t的取值范圍．

（1）設點Q的運動速度為a，

則由圖②可看出，當運動時間為5s時，△PDQ有最大面積450，即此時點Q到達點B處，

∵AP＝6t，

∴S△PDQ＝(60﹣6×5)×5a＝450，

∴a＝6，

∴AB＝5a＝30，

故答案為：30，6；

（2）①如圖1，設AB，CD的中點分別為E，F，當點O在QD上時，

QC＝AB+BC﹣6t＝90﹣6t，OF＝4t，

∵OF∥QC且點F是DC的中點，

∴OF＝QC，

即4t＝ (90﹣6t)，

解得，t＝；

②設AB，CD的中點分別為E，F，⊙O與AD，BC的切點分別為N，G，過點Q作QH⊥AD于H，

如圖2﹣1，當⊙O第一次與PQ相切于點M時，

∵AH+AP＝6t，AB+BQ＝6t，且BQ＝AH，

∴HP＝QH＝AB＝30，

∴△QHP是等腰直角三角形，

∵CG＝DN＝OF＝4t，

∴QM＝QG＝90﹣4t﹣6t＝90﹣10t，PM＝PN＝60﹣4t﹣6t＝60﹣10t，

∴QP＝QM+MP＝150﹣20t，

∵QP＝QH，

∴150﹣20t＝30，

∴t＝；

如圖2﹣2，當⊙O第二次與PQ相切于點M時，

∵AH+AP＝6t，AB+BQ＝6t，且BQ＝AH，

∴HP＝QH＝AB＝30，

∴△QHP是等腰直角三角形，

∵CG＝DN＝OF＝4t，

∴QM＝QG＝4t﹣(90﹣6t)＝10t﹣90，

PM＝PN＝4t﹣(60﹣6t)＝10t﹣60，

∴QP＝QM+MP＝20t﹣150，

∵QP＝QH，

∴20t﹣150＝30，

∴t＝，

綜上所述，當PQ與⊙O有公共點時，t的取值范圍為：≤t≤．