Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，AC、DC為弦，∠ACD=60°，P為AB延長線上的點，∠APD=30°．
（1）求證：DP是⊙O的切線；
（2）若⊙O的半徑為3cm，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OD，

∵∠ACD=60°，

∴由圓周角定理得：∠AOD=2∠ACD=120°，

∴∠DOP=180°﹣120°=60°，

∵∠APD=30°，

∴∠ODP=180°﹣30°﹣60°=90°，

∴OD⊥DP，

∵OD為半徑，

∴DP是⊙O切線；

（2）解：∵∠P=30°，∠ODP=90°，OD=3cm，

∴OP=6cm，由勾股定理得：DP=3 cm，

∴圖中陰影部分的面積S=S△ODP﹣S扇形DOB= ×3×3 ﹣ =（ ﹣ π）cm2

【解析】（1）連接OD，求出∠AOD，求出∠DOB，求出∠ODP，根據切線判定推出即可；（2）求出OP、DP長，分別求出扇形DOB和三角形ODP面積，即可求出答案．