Question

【題目】如圖，反比例函數y=(x>0)與直線AB交于點A(2，3)，直線AB與x軸交于點B(4，0)，過點B作x軸的垂線BC交反比例函數的圖象于點C，在平面內有點D，使得以A，B，C，D四點為頂點的四邊形為平行四邊形，則平行四邊形ABCD的面積為____________．

Answer 1

【答案】3

【解析】

先將A點的坐標代入反比例函數求得k的值，然后將x=4代入反比例函數解析式求得相應的y的值，即得點C的坐標；然后結合圖象分類討論以A、B、C、D為頂點的平行四邊形，如圖所示，找出滿足題意的D的坐標，分三種情形求出平行四邊形ABCD的面積即可.

把點A（2，3）代入y=（x＞0）得：k=xy=6，

故該反比例函數解析式為：y=．

∵點B（4，0），BC⊥x軸，

∴把x=4代入反比例函數y=，得

y=．

則C（4，）．

①如圖，當四邊形ACBD為平行四邊形時，AD∥BC且AD=BC．

∵A（2，3）、B（4，0）、C（4，），

∴點D的橫坐標為2，yA-yD=yC-yB，故yD=．

所以D（2，）,

延長AD交x軸于點E，則，

平行四邊形ABCD的面積=梯形AEBC的面積-三角形DBE的面積

=

=3；

②如圖，當四邊形ABCD′為平行四邊形時，AD′∥CB且AD′=CB．

∵A（2，3）、B（4，0）、C（4，），

∴點D′的橫坐標為2，yD′-yA=yC-yB，故yD′=．

所以D′（2，）,

平行四邊形ABCD′的面積=梯形AFBC的面積-三角形ABF的面積

=

=6-3

=3;

③如圖，當四邊形ABD″C為平行四邊形時，AC=BD″且AC∥BD″．

∵A（2，3）、B（4，0）、C（4，），

∴平行四邊形ABD″C的面積=（梯形AGBC的面積-三角形ABG的面積）×2

=（

=3.

綜上所述，平行四邊形ABCD的面積為3．

故答案為：3．