Question

【題目】已知：如圖所示，拋物線y=-x2+bx+c與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A（1，0），B（3，0）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）設(shè)點(diǎn)P在該拋物線上滑動(dòng)，且滿足條件S△PAB=1的點(diǎn)P有幾個(gè)？并求出所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）設(shè)拋物線交y軸于點(diǎn)C，問(wèn)該拋物線對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)M，使得△MAC的周長(zhǎng)最��？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】【答案（1）拋物線解析式為 ；

（2）滿足條件的點(diǎn)P有三個(gè)坐標(biāo)分別為（2，1），（，﹣1），（，﹣1）；

（3）存在點(diǎn)M（2，﹣1），可使△AMC的周長(zhǎng)最�。�

【解析】

（1）將A（1，0），B（3，0）代入拋物線中，列方程組可求拋物線解析式；

（2）由于AB=3﹣1=2，而，故△PAB中，AB邊上的高為1，即P點(diǎn)縱坐標(biāo)為±1，代入拋物線解析式可求P點(diǎn)橫坐標(biāo)；

（3）過(guò)點(diǎn)C作拋物線的對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)C'，根據(jù)拋物線的對(duì)稱性求得C′（4，﹣3），連接直線AC′，求直線AC′的解析式，直線AC′與對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)M

解：（1）依題意有 ，

∴b=4，c=﹣3，

∴拋物線解析式為 ；

（2）如圖，設(shè)P（x，y）

∵AB=2，

∴×2×|y|=1

∴y=±1

當(dāng)y=1時(shí)，解得 ，

當(dāng)y=﹣1時(shí)，解得，

∴滿足條件的點(diǎn)P有三個(gè)坐標(biāo)分別為（2，1），（，﹣1），（，﹣1）；

（3）存在．

過(guò)點(diǎn)C作拋物線的對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)C'，如圖

∵點(diǎn)C（0，﹣3），對(duì)稱軸為x=2，

∴C′（4，﹣3），

設(shè)直線AC′的解析式為y=kx+b，

則，

∴k=﹣1，b=1，

∴直線AC′的解析式為y=﹣x+1，

直線AC′與對(duì)稱軸x=2的交點(diǎn)為（2，﹣1），即M（2，﹣1），

∴存在點(diǎn)M（2，﹣1），可使△AMC的周長(zhǎng)最小．