Question

已知，如圖，正方形ABCD的邊長為1，點E是AD邊上的動點，從點A沿AD向D運動，以BE為邊，在BE的上方作正方形BEFG，連接CG，請探究：
①線段AE與CG是否相等，請說明理由．
②若設AE=x，DH=y，當x取何值時，y最大，最大值是多少？

Answer 1

【答案】分析：①根據正方形的性質求出AB=BC，∠EBA=∠GBC，∠A=∠GCB，證△AEB≌△CGB即可；
②證△ABE∽△DEH，得到比例式代入求出即可．
解答：解：①AE=CG，理由是：
∵正方形ABCD和正方形BEFG，
∴∠A=∠DCB=∠ABC=∠EBG=90°，AB=BC，
∴∠EBA=∠GBC，
在△AEB和△CGB中
∠A=∠GCB=90°，AB=BC，∠EBA=∠GBC，
∴△AEB≌△CGB，
∴AE=CG．

②∵正方形BEFG和正方形ABCD，
∴∠D=∠A=90°，∠HEB=90°，
∴∠DEH+∠AEB=90°，∠DEH+∠DHE=90°，
∴∠DHE=∠AEB，
∴△ABE∽△DEH，
=，
即=，
∴y=-x²+x=-+，
當x=時，y最大，最大值是．
答：當x取時，y最大，最大值是．
點評：本題主要考查對正方形的性質，全等三角形的性質和判定，相似三角形的性質和判定，二次函數的最值等知識點的理解和掌握，能綜合運用性質進行推理是解此題的關鍵．