Question

某公司從第1年到第x年的營業收入累計為y萬元，且y=6x²+1．
（1）問該公司從第1年到第4年的營業收入累計為多少萬元？
（2）該公司平均年支出z（萬元）與營業年數x（年）的函數關系式為z=kx+b（k，b為常數，k≠0），若營業1年支出16萬元，營業3年的平均年支出為24萬元．
①求k與b的值；
②設該公司營業以來獲得的總利潤為W萬元，在營業期間，若該公司的平均年支出不多于68萬元，試求W的最大值．（總利潤=總收入﹣總支出）

Answer 1

解：（1）x=4時，y=6×42+1=97， 即該公司從第1年到第4年的營業收入累計為97萬元； （2）①把和分別代入z=kx+b， 得：， 解得：； ②由①得：z=4x+12， ∴4x+12≤68， 解得：x≤14， ∴1≤x≤14， W=y﹣xz=6x2+1﹣x（4x+12）=2x2﹣12x+1=2（x﹣3）2﹣17． ∵a=2>0， ∴函數圖象為開口向上的拋物線（如右圖）， 其對稱軸為直線x=3，由函數圖象知： 當1≤x≤3時，W隨x的增大而減少； 當3<x≤14時，W隨x的增大而增大． 而當x=1時，W=﹣9<0， ∴當x=14時，W有最大值， 此時W最大值=2（14﹣3）2﹣17=225（萬元）．