Question

某公司從第1年到第x年的營業收入累計為y萬元，且y=6x²+1．
（1）問該公司從第1年到第4年的營業收入累計為多少萬元？
（2）該公司平均年支出z（萬元）與營業年數x（年）的函數關系式為z=kx+b（k，b為常數，k≠0），若營業1年支出16萬元，營業3年的平均年支出為24萬元．
①求k與b的值；
②設該公司營業以來獲得的總利潤為W萬元，在營業期間，若該公司的平均年支出不多于68萬元，試求W的最大值．（總利潤=總收入-總支出）

Answer 1

分析：（1）即求當x=4時y的值；
（2）①根據已知條件得方程組求解；
②根據總利潤的計算公式得關系式，運用函數性質求最值．注意自變量的取值范圍．

解答：解：
（1）x=4時，y=6×4²+1=97，
即該公司從第1年到第4年的營業收入累計為97萬元；（3分）

（2）①把

x=1 z=16

．和

x=3 z=24

．
分別代入z=kx+b，
得

k+b=16 3k+b=24

，
解得

k=4 b=12

．（5分）
②由①，z=4x+12，
∴4x+12≤68，
解得x≤14，
∴1≤x≤14（1分）
W=y-xz=6x²+1-x（4x+12）=2x²-12x+1=2（x-3）²-17
∵a=2＞0
∴函數圖象為開口向上的拋物線（如圖）
其對稱軸為直線x=3，由函數圖象知：
當1≤x≤3時，W隨x的增大而減少；
當3＜x≤14時，W隨x的增大而增大．
而當x=1時W=-9＜0（2分）
∴當x=14時，W有最大值，
此時W最大值=2（14-3）²-17=225（萬元）．（3分）

點評：運用函數的性質解決實際問題須先求關系式（包括自變量的取值范圍），再運用性質結合自變量的取值范圍解決問題．