Question

△ABM的三個內角∠M、∠A、∠B所對的邊分別為m、a、b．若關于x的一元二次方程（m-a）x²+2bx+（m+a）=0有兩個相等的實數根．
（1）判斷△ABM的形狀，并說明理由．
（2）若在直角坐標系中，△ABC的兩頂點A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）的坐標恰好是方程組

y=k y=x2+4x+3

的兩組解．若M在x軸上，△ABM可能是等腰三角形嗎？若可能，求出點M的坐標；若不可能，說明理由．

Answer 1

分析：（1）由根的判別式，可知一元二次方程等根時△=0，再根據勾股定理的逆定理判斷△ABM的形狀；
（2）根據△ABC的兩頂點A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）的坐標恰好是方程組

y=k y=x2+4x+3

的兩組解．可知若M在x軸上，△ABM是等腰三角形的M點的坐標是y=x²+4x+3的對稱軸與x軸的交點．

解答：解：（1）△=4b²-4（m-a）（m+a）=4（b²-m²+a²）=0，
即：a²+b²=m²，
∴△ABM是直角三角形，且∠M是直角；
（2）∵△ABC的兩頂點A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）的坐標恰好是方程組

y=k y=x2+4x+3

的兩組解，
M在x軸上，△ABM是等腰三角形，
∴y=x²+4x+3的對稱軸為x=-2，
∴點M的坐標為（-2，0）．

點評：本題考查了根的判別式和勾股定理的逆定理，同時考查了等腰三角形的性質，注意本題M點的坐標是y=x²+4x+3的對稱軸與x軸的交點．