Question

已知：如圖，AC是⊙O的直徑，AB是弦，MN是過點A的直線，AB等于半徑長。
（1）若∠BAC=2∠BAN，求證：MN是⊙O的切線；
（2）在（1）成立的條件下，當點E是的中點時，在AN上截取AD=AB，連結BD、BE、DE。
求證：△BED是等邊三角形。

Answer 1

證明：（1）連接OB， 因為AC是⊙O的直徑，AB是弦，且等于半徑長， 所以OA=OB=AB， 所以△AOB為等邊三角形， 所以∠OAB=60°， 因為∠BAC=2∠BAN=60°， 所以∠BAN=30°， 所以∠CAN=∠BAC+∠BAN=90°， 所以AC⊥MN，且AC為直徑， 所以MN是⊙O的切線； （2）連接AE、OE， 由E是的中點，可得∠BAE=∠ABE=15°， 易證△ABE≌△ADE， 所以BE=DE，∠EDA=15°， 可證得∠BDE=60°， 所以△BDE是等邊三角形。