Question

20、已知關于x的方程x²+2（a-1）x+a²-7a-b+12=0有兩個相等的實數根，且滿足2a-b=0．
①利用根與系數的關系判斷這兩根的正負情況．
②若將y=x²+2（a-1）x+a²-7a-b+12圖象沿對稱軸向下移動3個單位，寫出頂點坐標和對稱軸方程．

Answer 1

分析：①讓根的判別式等于0，聯立已知條件2a-b=0，可得a，b的值，根據根與系數中的關系可判斷出兩根的正負；
②易得原拋物線的頂點，讓橫坐標不變，縱坐標減3即為新的頂點坐標，對稱軸為直線x=頂點的橫坐標．

解答：①解：由△=4（a²-3）²-4（a²-7a-b+12）=0得：a+b-3=0，
又2a-b=0，
∴a=1，b=2．
設這個方程的解為x₁、x₂，
則x₁+x₂=-2（a-3）=4＞0，
x₁•x₂=a²-7a-b+12）=4＞0，
∴x₁、x₂均為正根；

②∵a=1，b=2，
∴y=x²+2（a-1）x+a²-7a-b+12可化為：y=x²-4x+4=（x-2）²，
將此圖象向下移動3個單位，得：y=（x-2）²-3，
頂點（2，-3），對稱軸為x=2．

點評：用到的知識點為：一元二次方程有2個相等的實數根，根的判別式等于0；討論兩個二次函數的圖象的平移問題，只需看頂點坐標是如何平移得到的即可．