Question

已知關于x的一元二次方程x²+（2m-1）x+m²=0有兩個實數(shù)根x₁和x₂．
（1）求實數(shù)m的取值范圍；      
（2）當（x₁+x₂）•（x₁-x₂）=0時，求m的值．
（友情提示：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根，則：，）

Answer 1

【答案】分析：（1）x的一元二次方程x²+（2m-1）x+m²=0有兩個實數(shù)根x₁和x₂，根據(jù)△≥0即可求出m的取值范圍；
（2）先把（x₁+x₂）•（x₁-x₂）=0變形后，再根據(jù)根與系數(shù)的關系即可得出答案．
解答：解：∵x的一元二次方程x²+（2m-1）x+m²=0有兩個實數(shù)根x₁和x₂，
∴△=（2m-1）²-4m²=1-4m≥0，
解得：m≤；

（2）∵x的一元二次方程x²+（2m-1）x+m²=0有兩個實數(shù)根x₁和x₂，
∴x₁+x₂=1-2m，x₁x₂=m²，
∴（x₁+x₂）•（x₁-x₂）=0，
當1-2m=0時，1-2m=0，
解得m=（不合題意）．
當x₁=x₂時，
（x₁+x₂）²-4x₁x₂=4m²-4m+1-4m²=0，
解得：m=．
故m的值為：．
點評：本題考查根與系數(shù)的關系及根的判別式，屬于基礎題，關鍵掌握x₁，x₂是方程x²+px+q=0的兩根時，x₁+x₂=-p，x₁x₂=q，反過來可得p=-（x₁+x₂），q=x₁x₂，前者是已知系數(shù)確定根的相關問題，后者是已知兩根確定方程中未知系數(shù)．