Question

已知關于的方程.

（1）求證：無論取任何實數時，方程恒有實數根；

（2）若為整數，且拋物線與軸兩交點間的距離為2，求拋物線的解析式；

（3）若直線與（2） 中的拋物線沒有交點，求的取值范圍.

Answer 1

解：（1）分兩種情況討論.

①     當時，方程為　

∴　方程有實數根  -----------------------------1分

②當，則一元二次方程的根的判別式

＝

∴不論為何實數，成立，

∴方程恒有實數根  -----------------------------------------3分

綜合①、②，可知取任何實數，方程恒有實數根

                                                                               

（2）設為拋物線與軸交點的橫坐標.

令， 則

由求根公式得， ， -------------------------------------4分

∴拋物線不論為任何不為0

的實數時恒過定點

∵

∴

∴ 或，--------------------------------------------5分

∴  或（舍去）

∴求拋物線解析式為， -------------------------6分

（3）由  ，得　

     ∴ 

∵直線與拋物線沒有交點

∴

∴　

所以，當，

 直線與（2）中的拋物線沒有交點.

         ------------------------------------------------------------8分