Question

如圖，正△ABC的面積是8，取正△ABC的內心O₁，以O₁B為邊長作正△O₁BP₁，再取正△O₁BP₁的內心O₂，以O₂B為邊長作正△O₂BP₂，…，依次規律作第2009個正△O₂₀₀₉BP₂₀₀₉．則△O₂₀₀₉BP₂₀₀₉的面積是    ．

Answer 1

【答案】分析：根據正三角形的內心和外心重合，則每后一個正三角形的邊長是前一個正三角形的外接圓的半徑，它們的邊長比是．再根據相似三角形的面積比是相似比的平方，得每后一個正三角形的面積是前一個正三角形的面積的，所以要求的正三角形的面積是．
解答：解：如圖；
Rt△O₁BD中，∠O₁BD=30°；
∴=cos30°=；
∴==，
∴S_△O1BP1=S_△ABC=；
同理可求得S_△O2BP2=S_△O1BP1=×S_△ABC=（）²×8；
依此類推，S_△OnBPn=（）ⁿ×8=；
當n=2009時，△O₂₀₀₉BP₂₀₀₉的面積是．
點評：解答此類題一般要先從簡單的例子入手得出一般化的結論，然后根據得出的規律去求特定的值．