Question

【題目】如圖，在中，，，，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，在邊上以每秒2的速度向點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，在邊上以每秒的速度向點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為()，連接．

（1）若，求的值；

（2）若與相似，求的值；

（3）當(dāng)為何值時(shí)，四邊形的面積最小？并求出最小值．

Answer 1

【答案】（1） ；（2）或；（3） 當(dāng)時(shí)，取最小值，．

【解析】

（1）由已知條件得出AB=10，BC＝5，由題意知BM=2t，CN＝t，BN＝5t，由BM=BN得出方程2t＝5t，解方程即可；

（2）分兩種情況：①當(dāng)△MBN∽△ABC時(shí)，由相似三角形的對應(yīng)邊成比例得出比例式，即可得出t的值；

②當(dāng)△NBM∽△ABC時(shí)，由相似三角形的對應(yīng)邊成比例得出比例式，即可得出t的值；

（3）過M作MD⊥BC于點(diǎn)D，則MD∥AC，證出△BMD∽△BAC，得出比例式求出MD=t；四邊形ACNM的面積y=△ABC的面積-△BMN的面積，得出y是t的二次函數(shù)，由二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出結(jié)果．

解：（1）在中，∵，，，

∴，．

由題意知，，

∴．

由，得．

解得；

（2）①當(dāng)∽時(shí)，

得，即

解得；

②當(dāng)∽時(shí)，

得，即

解得

∴當(dāng)或時(shí)，與相似；

（3）如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則．

設(shè)四邊形的面積為．

由題意，得

∵

∴當(dāng)時(shí)，取最小值，.