Question

（1）如圖1，AB為⊙O的直徑，直線l交⊙O于C、D，過A、B分別作l的垂線，垂足分別為E、F，經推證，可得出結論EC=DF，證明過程中輔助線的添法是

 

；
（2）上題中，若把l繼續向上平行移動，使弦CD與直徑AB交于P（P與A、B不重合），在其它條件不變的情況下，請你在圖2中將變化后的圖形畫出來，標好對應字母，并寫出與（1）相應成立的結論等式，并判斷你寫的結論是否成立，若不成立，請說明理由；若成立，請給予證明，結論

 

；
（3）若（2）中⊙O半徑為5cm，∠CPB=150°，且AP：BP=7：3，試求弦CD的長度．

Answer 1

分析：（1）作輔助線，過O作OG⊥EF于G，由垂徑定理可得：CG=DG，又AE∥OG∥BF，OA=OB，
由平行線等分線段定理得：EG=FG．故：EG-CG=FG-DG，即：EC=DF；
（2）證明過程同（1），可得：EC=DF；
（3）作輔助線，連接OD，由∠CPA=150°，可得：∠OPG=30°，AB=10，AP：BP=7：3，可得AP=7，BP=3，OP=2．
OG=sin30°×OP=1．
在Rt△OGD中，運用勾股定理可將DG求出，由垂徑定理可得：CD=2DG．

解答：解：

（1）過O作OG⊥EF于G，可得：CG=DG
∵AE⊥CD，OG⊥CD，BF⊥CD，∴AE∥OG∥BF
∵OA=OB，∴EG=FG
∴EG-CG=FG-DG
∴EC=DF

（2）EC=DF依然成立，證明過程同（1）
過O作OG⊥EF于G，可得：CG=DG
∵AE⊥CD，OG⊥CD，BF⊥CD，∴AE∥OG∥BF
∵OA=OB，∴EG=FG
∴EG-CG=FG-DG
∴EC=DF

（3）連接OD
∵⊙O的半徑為5，AP：BP=7：3，∴AP=7，BP=3，OP=2
∵∠CPB=150°，∴∠OPG=30°
在Rt△OPG中，OG=sin30°×OP=1
在Rt△OGD中，DG=

OD2-OG2

=

52-12

=2

6

故：CD=2DG=4

6

．

點評：本題主要考查垂徑定理的應用，在解此類題一般要把半徑、弦心距、弦的一半構建在一個直角三角形里，運用勾股定理求解．