Question

已知：D為△ABC邊BC上一定點，以C為圓心，CD為半徑的半圓交BC的延長線于點E，交AD于點F，交AE于點M，若∠B=∠CAE，AF=DF，DF=3，EF=4
（1）求證：AD為∠BAC的平分線；
（2）求證：

AF

AM

=

AE

AD

；
（3）求∠AED的余弦值．

Answer 1

分析：（1）問應(yīng)先由EF⊥AD，AF=DF；則∠EDA=∠EAD，再由∠B=∠CAE，相減即可得∠BAD=∠DAC，即AD平分∠BAC；
（2）問應(yīng)先連接DM，則由∠AEF=∠ADM，∠DAM=∠EAF可得：△AFE∽△AMD，即

AF

AM

=

AE

AD

；
（3）求∠AED的余弦值，即求ME：DM，由已知條件，勾股定理，切割線定理的推論可以求出．

解答：解：（1）∵DE是半圓C的直徑，
∴∠DFC=90°，即EF⊥AB；
∵AF=DF，∴EA=ED，∠EDA=∠EAD．
∵∠EDA=∠B+∠BAD，∠EAD=∠DAC+∠CAE；
又∵∠B=∠CAE，
∴∠BAD=∠DAC，即AD平分∠BAC．

（2）連接DM，由圓周角定理可得：∠AEF=∠ADM，
又∵∠DAM=∠EAF，
∴△AFE∽△AMD，
∴

AF

AM

=

AE

AD

；

（3）過點A作AN⊥DE，垂足為N．
∵DF=3，EF=4，∴DE=5，
∴AF=DF=3，AE=DE=5，
由（2）

AF

AM

=

AE

AD

，得AF•AD=AM•AE即3×6=AM×5；
∴AM=

18

5

，∴ME=AE-AM=5-

18

5

=

7

5

，
在RT△DME中，cos∠AED=

ME

DE

=

7 5

5

=

7

25

．

點評：本題考查相似三角形的判定，切割線定理，勾股定理，圓周角定理等知識點的綜合運用，同學(xué)們應(yīng)重點掌握．