Question

如圖，已知點(diǎn)D在AC上，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，點(diǎn)M為EC的中點(diǎn)．

(1)求證：△BMD為等腰直角三角形

(2)將△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，如圖，(1)中的“△BMD為等腰直角三角形”是否仍然成立？請說明理由．

(3)將△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)135°，如圖，(1)中的“△BMD為等腰直角三角形”成立嗎？(不用說明理由)．

(4)我們是否可以猜想，將△ADE繞點(diǎn)A任意旋轉(zhuǎn)一定的角度，如圖，(1)中的“△BMD為等腰直角三角形”均成立？(不用說明理由)．

Answer 1

答案：
解析：

　　(1)證明：

　　∵點(diǎn)M是Rt△BEC的斜邊EC的中點(diǎn)，

　　∴BM＝EC＝MC，

　　∴∠MBC＝∠MCB．

　　∴∠BME＝2∠BCM．

　　同理可證：DM＝EC＝MC，

　　∠EMD＝2∠MCD．　1分

　　∴∠BMD＝2∠BCA＝90°，

　　∴BM＝DM．

　　∴△BMD是等腰直角三角形．　2分

　　(2)(1)中的結(jié)論仍然成立．　3分

　　延長DM與BC交于點(diǎn)N

　　∵DE⊥AB

　　CB⊥AB，

　　∴∠EDB＝∠CBD＝90°

　　∴DE∥BC．

　　∴∠DEM＝∠MCN．

　　又∵∠EMD＝∠NMC，EM＝MC

　　∴△EDM≌△MNC　4分

　　∴DM＝MN．

　　DE＝NC＝AD．

　　又AB＝BC，

　　∴AB－AD＝BC－CN

　　∴BD＝BN．

　　∴BM⊥DM．

　　即∠BMD＝90°．

　　∵∠ABC＝90°，

　　∴BM＝DN＝DM．

　　∴△BMD是等腰直角三角形．　5分

　　(3)(1)中的結(jié)論成立．　6分

　　(4)(1)中的結(jié)論成立．　7分