Question

如圖，兩個同心圓的圓心為O，大圓的弦AD交小圓于B、C，大圓的弦AF切小圓于E，經過B、E的直線交大圓于M、N．
（1）求證：AE²=BN•EN；
（2）如果AD經過圓心O，且AE=EC，求∠AFC的度數．

Answer 1

解：（1）過O作OP⊥MN交MN與P，
根據垂徑定理可知P是MN，BE的中點，即MB=NE，
同理可得AB=CD，
∵AF切小圓于E，
∴AE²=AB•AC．
∵AB=CD，
∴AC=BD，
∴AE²=AB•AC=AB•BD．
又∵AB•BD=BM•BN，MB=NE，
∴AB•BD=BM•BN=EN•BN．
∴AE²=EN•BN．

（2）連接OE，則OE⊥AF，

∴AE=EF；
∵AE=EC，
∴AE=EF=EC，
∴△ACF是直角三角形；
∴∠ACF=90°．
故可得出FC是小圓的切線，
∴FE=FC=AE=EC，即△EFC是等邊三角形，
∴∠AFC=60°．
分析：（1）首先過O作OP⊥MN交MN與P，根據垂徑定理P是MN，BE的中點，可以得到MB=NE，同理可得AB=CD，再利用切割線定理和相交弦定理就可以得到結論；
（2）如圖當AD經過圓心O時，根據AE是圓的切線和垂徑定理可以得到AE=EF，而AE=EC；再根據這兩個條件可以判斷△AFC是直角三角形，從而得到∠AFC的度數．
點評：此題考查了垂徑定理，相交弦定理，切割線定理，圓周角定理的推論，綜合性比較強．