Question

如圖，在△ABC中，DE垂直平分AB，分別交AB、BC于D、E點．MN垂直平分AC，分別交AC、BC于M、N點．
（1）若∠BAC=100°，求∠EAN的度數；
（2）若∠BAC=70°，求∠EAN的度數；
（3）若∠BAC=α（α≠90°），直接寫出用α表示∠EAN大小的代數式．

Answer 1

分析：（1）根據線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等可得AE=BE，再根據等邊對等角可得∠BAE=∠B，同理可得，∠CAN=∠C，然后利用三角形的內角和定理求出∠B+∠C，再根據∠EAN=∠BAC-（∠BAE+∠CAN）代入數據進行計算即可得解；
（2）同（1）的思路，最后根據∠EAN=∠BAE+∠CAN-∠BAC代入數據進行計算即可得解；
（3）根據前兩問的求解，分α＜90°與α＞90°兩種情況解答．

解答：解：（1）∵DE垂直平分AB，
∴AE=BE，
∴∠BAE=∠B，
同理可得：∠CAN=∠C，
∴∠EAN=∠BAC-∠BAE-∠CAN，
=∠BAC-（∠B+∠C），
在△ABC中，∠B+∠C=180°-∠BAC=80°，
∴∠EAN=∠BAC-（∠BAE+∠CAN）=100°-80°=20°；

（2）∵DE垂直平分AB，
∴AE=BE，
∴∠BAE=∠B，
同理可得：∠CAN=∠C，
∴∠EAN=∠BAE+∠CAN-∠BAC，
=（∠B+∠C）-∠BAC，
在△ABC中，∠B+∠C=180°-∠BAC=110°，
∴∠EAN=∠BAE+∠CAN-∠BAC=110°-70°=40°；

（3）當α＜90°時，∠EAN=180°-2α；
當α＞90°時，∠EAN=2α-180°．

點評：本題考查了線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等的性質，等邊對等角的性質，三角形的內角和定理，整體思想的利用是解題的關鍵．