Question

【題目】如圖，拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖1，拋物線的對稱軸交拋物線于點，在軸上是否存在點，使得的周長最小？若存在，求出點坐標；若不存在，請說明理由；

（3）如圖2，點為直線上方拋物線上的動點，于點，求線段的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）由題意利用待定系數法將，代入求解即可；

（2）根據題意作點關于軸的對稱點，連接，交軸于點，此時的周長最小，并設直線的解析式為，將，代入，進行分析運算求解即可；

（3）根據題意過點作軸，垂足為,交于點，進而求出點的坐標并設直線的解析式為，將，代入進行運算以及設平行于的直線為進行分析運算.

解：（1）將，代入得，解得，

∴拋物線的解析式為.

（2）作點關于軸的對稱點，連接，交軸于點，此時的周長最小．

設直線的解析式為，將，

代入，得 ,

解得，

∴直線的解析式為

當時，

∴點的坐標為.

（3）如圖，過點作軸，垂足為,交于點．

當時，

∴點的坐標為

設直線的解析式為，

將，代入，

得

解得，

∴直線的解析式為

設點的坐標為，則點的坐標為

設平行于的直線為，

解方程組，

得

由判別式，

得

此時，直線與直線的距離即為的最大值．

求得，.