Question

如圖，某防洪指揮部發現長江邊一處長500米，高10米，背水坡的坡角為45°的防洪大堤（橫斷面為梯形ABCD）急需加固．經調查論證，防洪指揮部專家組制定的加固方案是：背水坡面用土石進行加固，并使上底加寬3米，加固后背水坡EF的坡比i=1：

3

．
（1）求加固后壩底增加的寬度AF；
（2）求完成這項工程需要土石多少立方米？（結果保留根號）

Answer 1

分析：（1）分別過E、D作AB的垂線，設垂足為G、H．在Rt△EFG中，根據坡面的鉛直高度（即壩高）及坡比，即可求出水平寬FG的長；同理可在Rt△ADH中求出AH的長；由AF=FG+GH-AH求出AF的長．
（2）已知了梯形AFED的上下底和高，易求得其面積．梯形AFED的面積乘以壩長即為所需的土石的體積．

解答：
解：（1）分別過點E、D作EG⊥AB、DH⊥AB交AB于G、H．           （1分）
∵四邊形ABCD是梯形，且AB∥CD，
∴DH平行且等于EG．                                           （2分）
故四邊形EGHD是矩形．                                       （3分）
∴ED=GH．                                                 （4分）
在Rt△ADH中，
AH=DH÷tan∠DAH=10÷tan45°=10（米）．                           （5分）
在Rt△FGE中，
i=

1

3

=

EG

FG

，
∴FG=

3

EG=10

3

（米）．                                         （6分）
∴AF=FG+GH-AH=10

3

+3-10=10

3

-7（米）；（7分）

（2）加寬部分的體積V=S_梯形AFED×壩長（8分）
=

1

2

×（3+10

3

-7）×10×500
=25000

3

-10000（立方米）．                                          （9分）
答：（1）加固后壩底增加的寬度AF為（10

3

-7）米；
（2）完成這項工程需要土石（25000

3

-10000）立方米．          （10分）

點評：此題主要考查學生對坡度坡角的掌握及三角函數的運用能力．