Question

如圖，某防洪指揮部發現長江邊一處長500米，高10米，背水坡的坡角為45°的防洪大堤（橫斷面為梯形ABCD）急需加固．經調查論證，防洪指揮部專家組制定的加固方案是：背水坡面用土石進行加固，并使上底加寬3米，加固后背水坡EF的坡比i=1：．
（1）求加固后壩底增加的寬度AF；
（2）求完成這項工程需要土石多少立方米？（結果保留根號）

Answer 1

解：（1）分別過點E、D作EG⊥AB、DH⊥AB交AB于G、H．
∵四邊形ABCD是梯形，且AB∥CD，
∴DH平行等于EG．
故四邊形EGHD是矩形．
∴ED=GH．
在Rt△ADH中，
AH=DH÷tan∠DAH=10÷tan45°=10（米）．
在Rt△FGE中，
i==，
∴FG=EG=10（米）．
∴AF=FG+GH-AH=10+3-10=10-7（米）；

（2）加寬部分的體積V=S_梯形AFED×壩長
=×（3+10-7）×10×500
=25000-10000（立方米）．
答：（1）加固后壩底增加的寬度AF為（10-7）米；
（2）完成這項工程需要土石（25000-10000）立方米．
分析：（1）分別過E、D作AB的垂線，設垂足為G、H．在Rt△EFG中，根據坡面的鉛直高度（即壩高）及坡比，即可求出水平寬FG的長；同理可在Rt△ADH中求出AH的長；由AF=FG+GH-AH求出AF的長．
（2）已知了梯形AFED的上下底和高，易求得其面積．梯形AFED的面積乘以壩長即為所需的土石的體積．
點評：此題主要考查學生對坡度坡角的掌握及三角函數的運用能力．