Question

四邊形ABCD為直角梯形，AD：BC=2：3，E為DC邊上的中點，連接AE交BD于H點，過點H作HN⊥AD于N，NH的延長線交BC于點M，則：①AH：HE=4：3；②M為BC的中點；③S_{四邊形BHEC}-S_△ABH=2S_△AHD，則正確的結論有（ ）
A．只有①②
B．只有①③
C．只有②③
D．①②③

Answer 1

【答案】分析：連結BE，過E點作EF∥BC交AB于點F，交MN于點G．
①通過求解得到S_△BDE=×S_△BCD=×S_△ABD=S_△ABD，即可作出判斷；
②根據梯形中位線定理得到AD：FE：BC=2：2.5：3，從而得到BM=FG=FE=BC，即可作出判斷；
③分別求出S_△ABH，2S_△AHD，S_{四邊形BHEC}與S_{四邊形ABCD}的關系，即可作出判斷．
解答：解：連結BE，過E點作EF∥BC交AB于點F，交MN于點G．
①∵E為DC邊上的中點，
∴S_△BDE=S_△CDE，
∵AD：BC=2：3，
∴S_△BDE=×S_△BCD=×S_△ABD=S_△ABD，
即S_△ABD：S_△BDE=4：3，
∴AH：HE=4：3；故①正確；
②∵AH：HE=4：3，
∴FG：GE=4：3，
∵AD：BC=2：3，
∴AD：FE：BC=2：2.5：3，
∴BM=FG=FE=BC，
故M不為BC的中點；故②錯誤；
③S_△ABH=S_{四邊形ABCD}×=S_{四邊形ABCD}，
2S_△AHD=2×S_{四邊形ABCD}××=S_{四邊形ABCD}，
S_{四邊形BHEC}=S_{四邊形ABCD}-（S_{四邊形ABCD}，+S_{四邊形ABCD}×）=S_{四邊形ABCD}，
∵S_{四邊形ABCD}-S_{四邊形ABCD}=S_{四邊形ABCD}，
∴S_{四邊形BHEC}-S_△ABH=2S_△AHD；故③正確．
故選B．
點評：考查了相似形綜合題，涉及的知識點有平行線的性質，相似三角形的性質，梯形的性質的中位線定理，等高的三角形面積之間的關系，有一定的難度．