Question

如圖，在直角坐標系中，梯形ABCD的底邊AB在x軸上，底邊CD的端點D在y軸上.直線CB的表達式為，點A、D的坐標分別為（－4，0），（0，4）. 動點P從A點出發，在AB邊上勻速運動. 動點Q從點B出發，在折線BCD上勻速運動，速度均為每秒1個單位長度. 當其中一個動點到達終點時，另一動點也停止運動. 設點P運動t（秒）時，△OPQ的面積為S（不能構成△OPQ的動點除外）.

【小題1】求出點C的坐標
【小題2】求S隨t變化的函數關系式；
【小題3】當t為何值時，S有最大值？并求出這個最大值

Answer 1

【小題1】把y＝4代入y＝－x＋，得x＝1.
∴C點的坐標為（1，4）.
【小題2】當y＝0時，－x＋＝0，
∴x＝4.∴點B坐標為（4，0）.
過點C作CM⊥AB于M，則CM＝4，BM＝3.
∴BC＝＝＝5.
∴sin∠ABC＝＝.
① 0＜t＜4時，過Q作QN⊥OB于N，
② 
則QN＝BQ·sin∠ABC＝t.
∴S＝OP·QN＝（4－t）×t ＝－t²＋t（0＜t＜4）. ……………2分
②當4＜t≤5時，
連接QO，QP，過點Q作QN⊥OB于N.

同理可得QN＝t.
∴S＝OP·QN＝×（t－4）×t.
＝t²－t（4＜t≤5）. …………………………….3分
③當5＜t≤6時，
連接QO，QP.
S＝×OP×OD＝（t－4）×4.
＝2t－8（5＜t≤6）. ……………………………….4分
S隨t變化的函數關系式是.
【小題3】①當0＜t＜4時，

∵－<0
當t＝＝2時，
S_最大＝＝.  ……………………………5分
②當4＜t≤5時， S＝t²－t，對稱軸為t＝－＝2，
∵>0
∴在4＜t≤5時，S隨t的增大而增大.
∴當t＝5時，S_最大＝×5²－×5＝2. …………………………..6分
③當5＜t≤6時，
在S＝2t－8中，∵2＞0，∴S隨t的增大而增大.
∴當t＝6時，S_最大＝2×6－8＝4. …………………………………………7分
∴綜合三種情況，當t＝6時，S取得最大值，最大值是4. ………………………8分解析:
（1）把y＝4代入直線解析式，即可求得點C的坐標；
（2）作垂線構建直角三角形，利用勾股定理和三角函數、面積的有關計算求得函數解析式，注意t的取值范圍不同，S的解析式就不同。
（3）根據（2）中的三種情況，分別求出S的最大值。