Question

【題目】如圖，拋物線y＝ax2+bx（a≠0）與x軸交于原點及點A，且經過點B（4，8），對稱軸為直線x＝﹣2，頂點為D．

（1）填空：拋物線的解析式為　 　，頂點D的坐標為　 　，直線AB的解析式為　 　；

（2）在直線AB左側拋物線上存在點E，使得∠EBA＝∠ABD，求E的坐標；

（3）連接OB，點P為x軸下方拋物線上一動點，過點P作OB的平行線交直線AB于點Q，當S△POQ：S△BOQ＝1：2時，求出點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2+x；（﹣2，﹣1）；y＝x+4；（2）（﹣，）；（3）P（﹣2，2﹣2）．

【解析】

（1）根據對稱軸可求得A點坐標，再根據B點坐標，利用待定系數法即可求得拋物線以及一次函數解析式，再利用對稱軸為x＝﹣2可求得拋物線頂點坐標；

（2）證明四邊形GDHD′為正方形，點D（-2，-1），則點G（-5，-1），則正方形的邊長為3，則點D′（-5，2），求得直線BD′的解析式，與拋物線聯立即可求解；

（3）證明四邊形PQHO為平行四邊形，則xQ-xP=xH-xO，即可求解．

解：（1）對稱軸為直線x＝﹣2，則點A（﹣4，0），

將點A、B的坐標代入拋物線表達式得 ，解得．

故拋物線的表達式為：y＝x2+x…①，

當x=-2時，

∴頂點D的坐標為：（﹣2，﹣1），

設直線AB的表達式為，

將點A、B的坐標代入一次函數表達式，解得，

所以，直線AB的表達式為：y＝x+4…②，

故答案為：y＝x2+x；（﹣2，﹣1）；y＝x+4；

（2）作點D關于AB的對稱點D′，分別過點D、D′作x軸的平行線交直線AB與點G、H，

則,，

∵直線AB的解析式為y＝x+4，∥x軸，∥x軸,

∴，

∴，

∴，，

則四邊形GDHD′為正方形，

根據點D（﹣2，﹣1），可得點G（﹣5，﹣1），

所以，正方形的邊長為3，

則點D′（﹣5，2），

設直線BD′的表達式為：，所以，解得，

所以，直線BD′的表達式為：y＝x+…③；

聯立①③并解得：x＝﹣或4（舍去），

故點E（﹣，）；

（3）取OB的中點H（2，4），則S△OQH＝S△OBQ，而S△POQ：S△BOQ＝1：2，

故S△OQH＝S△POQ，

∵PQ∥OH，故PQ＝OH（四邊形PQHO為平行四邊形），

則xQ﹣xP＝xH﹣xO，

設點P（m， m2+m），

直線OB的表達式為：y＝2x，

則直線PQ的表達式為：y＝2x+b1，將點P的坐標代入上式得,解得，

所以，直線PQ的表達式為：y＝2x+m2﹣m…④，

聯立②④并解得：xQ＝﹣m2+m+4，

而xQ﹣xP＝xH﹣xO，

即﹣m2+m+4﹣m＝2，

解得：m＝或m＝（舍去），

故點P（﹣2，2﹣2）．