Question

如圖，在△ABC中，AC=BC，CD是AB邊上的高線，且有2CD=3AB，又E，F為CD的三等分點，
求證：∠ACB+∠AEB+∠AFB=180°．

Answer 1

【答案】分析：根據等腰三角形三線合一的特點可知：CD垂直平分AB，因此不難得出∠ACB=2∠ACD、∠AEB=2∠AED、∠AFB=2∠AFD，因此本題證∠AFD+∠AEF+∠ACE=90°即可．根據2CD=3AB，且CD=3BF，可知BF=2AD；因此△AFD是等腰三角形，可得出∠AFD=45°，且AF²=2DF=EF•FC，由此可得出△AEF∽△CFA．那么∠CAF=∠AEF，由此即可得出∠AFD+∠AEF+∠ACE=90°，進而可得出本題所求的結論．
解答：證明：∵2CD=3AB，
∴，
∵E，F為CD三等分點，D為AB中點，
∴AD=DF；
∴∠AFD=45°，
∴由勾股定理得：AF²=AD²+DF²=2DF²
∵2DF²=EF（EF+CE）=FE•FC；
∴AF²=FE•FC，
∴=，
∵∠AFE=∠CFA，
∴△AEF∽△CFA，
∴∠CAF=∠AEF；
即∠ACD+∠AED=∠AFD=45°；
∴∠ACD+∠AED+∠AFD=90°，
∴∠ACB+∠AEB+∠AFB=180°．
點評：本題主要運用了三角形的外角等于不相鄰的兩個內角的和，得到AD=DF是解決本題的關鍵．