Question

在Rt△ABC中，F是斜邊AB的中點，D、E分別在邊CA、CB上，滿足∠DFE=90°．若AD=3，BE=4，則線段DE的長度為________．

Answer 1

5
分析：把三角形ACB繞斜邊中點F，旋轉180°后，得到一個四邊形ACBM為矩形，然后根據對頂角相等，兩直線平行，內錯角相等和F為AB的中點三個條件證明三角形ADF與三角形BHF全等，得到DF與HF相等，同理證明三角形AFG和三角形EBF全等，得到GF與EF相等，得到四邊形DEHG為平行四邊形，又DH與GE垂直，得到DEHG為菱形，得到DG與DE相等，根據勾股定理，由AD=3，AG=4，求出DG的長即為DE的長．
解答：解：根據題意把△ACB繞點F旋轉180°后，得到△BMA，得到四邊形ACBM為矩形，
分別延長EF和DF，與AM交于G，與MB交于交于H，連接DG，GH，HE，DE，
∵∠AFD=∠BFH，AF=FB，∠ADF=∠BHF，
∴△ADF≌△BHF，
∴DF=HF，
同理證明△AFG≌△BFE，得到GF=EF，且DH⊥GE，
∴四邊形DEHG為菱形，
∴DE=DG==5．
故答案為：5
點評：此題考查了菱形的判別方法，靈活運用三角形全等的方法解決實際問題，靈活運用勾股定理化簡求值，是一道綜合題．