Question

關(guān)于x的方程|x²-x|-a=0，給出下列四個(gè)結(jié)論：
①存在實(shí)數(shù)a，使得方程恰有2個(gè)不同的實(shí)根； ②存在實(shí)數(shù)a，使得方程恰有3個(gè)不同的實(shí)根；
③存在實(shí)數(shù)a，使得方程恰有4個(gè)不同的實(shí)根；④存在實(shí)數(shù)a，使得方程恰有6個(gè)不同的實(shí)根；
其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)是（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

分析：首先由：|x²-x|-a=0，可得a≥0，然后分析若x²-x＞0時(shí)，由判別式可知此時(shí)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，又由x²-x＜0時(shí)，分析當(dāng)△=-4a+1＞0時(shí)，有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，當(dāng)△=-4a+1=0時(shí)，有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，當(dāng)△=-4a+1＜0時(shí)，沒有的實(shí)數(shù)根，即可求得答案．

解答：解：∵|x²-x|-a=0，
∴|x²-x|=a，
∴a≥0，
若x²-x＞0，
則x²-x-a=0，
∴△=（-1）²+4a=4a+1＞0，
此時(shí)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
若x²-x＜0，
則-x²+x-a=0，即則x²-x+a=0，
∴△=（-1）²-4a=-4a+1，
當(dāng)-4a+1＞0時(shí)，0≤a＜

1

4

，
此時(shí)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
當(dāng)-4a+1=0時(shí)，a=

1

4

，
此時(shí)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，
當(dāng)-4a+1＜0時(shí)，a＞

1

4

，
此時(shí)方程沒有的實(shí)數(shù)根；
∴當(dāng)0≤a＜

1

4

時(shí)，使得方程恰有4個(gè)不同的實(shí)根，故③正確；
當(dāng)a=

1

4

時(shí)，使得方程恰有3個(gè)不同的實(shí)根，故②正確；
當(dāng)a＞

1

4

時(shí)，使得方程恰有2個(gè)不同的實(shí)根，故①正確．
∴正確的結(jié)論是①②③．
故選C．

點(diǎn)評：此題考查了一元二次方程根的判別式的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵是分類討論思想的應(yīng)用，小心別漏解．