Question

如圖，在△ABC中，以AB為直徑的⊙O交AC于點(diǎn)D，直徑AB左側(cè)的半圓上有一點(diǎn)E，連結(jié)EB、ED，∠CBD=∠E．
（1）求證：BC是⊙O的切線；
（2）若∠E=30°，BC=

4 3

3

，求陰影部分的面積．（計(jì)算結(jié)果精確到0.1）（參考數(shù)值：π≈3.14，

2

≈1.41，

3

≈1.73）

Answer 1

分析：（1）根據(jù)圓周角定理得到∠ADB=90°，∠A=∠E，則∠A+∠ABD=90°，而∠CBD=∠E，則∠CBD=∠A，所以∠CBD+∠ABD=90°，然后根據(jù)切線的判定定理即可得到結(jié)論；
（2）由∠A=∠E=30°，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到AB=

3

BC=4，則OA=2，OH=

1

2

OA=2，AH=

3

OH=2

3

，根據(jù)垂徑定理由OH⊥AD，得AH=HD=2

3

，即AD=4

3

，
然后利用陰影部分的面積=S_扇形AOD-S_△AOD和扇形的面積公式進(jìn)行計(jì)算即可．

解答：（1）證明：∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∴∠A+∠ABD=90°，
∵∠CBD=∠E，∠A=∠E，
∴∠CBD=∠A，
∴∠CBD+∠ABD=90°，
∴OB⊥BC，
∴BC是⊙O的切線；
（2）解：連結(jié)OD，作OH⊥AC于H，如圖，
在Rt△ABC中，∠A=∠E=30°，
∴AB=

3

BC=

3

×

4 3

3

=4，
∴OA=2，
在Rt△AOH中，∠A=30°，
∴∠AOH=60°，
∴OH=

1

2

OA=2，AH=

3

OH=2

3

，
∵OH⊥AD，
∴AH=HD=2

3

，即AD=4

3

，
∴∠AOH=∠DOH=60°，
∴∠AOH=120°，
∴陰影部分的面積=S_扇形AOD-S_△AOD
=

120π•22

360

-

1

2

×4

3

×1
=

4π

3

-2

3

≈0.7．

點(diǎn)評：本題考查了切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．也考查了垂徑定理、圓周角定理和扇形的面積公式．