Question

【題目】有一個面積為1的正方形，經過一次“生長”后，在他的左右肩上生出兩個小正方形，其中，三個正方形圍成的三角形是直角三角形，再經過一次“生長”后，變成了下圖，如果繼續“生長”下去，它將變得“枝繁葉茂”，請你算出“生長”了2019次后形成的圖形中所有的正方形的面積和是( )

A.1B.2018C.2019D.2020

Answer 1

【答案】D

【解析】

根據勾股定理和正方形的面積公式，知“生長”1次后，以直角三角形兩條直角邊為邊長的正方形的面積和等于以斜邊為邊長的正方形的面積，即所有正方形的面積和是2×1=2；“生長”2次后，所有的正方形的面積和是3×1=3，推而廣之即可求出“生長”2019次后形成圖形中所有正方形的面積之和．

解：設直角三角形的是三條邊分別是a，b，c．
根據勾股定理，得a2+b2=c2，

即正方形A的面積+正方形B的面積=正方形C的面積=1．

正方形D的面積+正方形E的面積+正方形F的面積+正方形G的面積=正方形A的面積+正方形B的面積=正方形C的面積=1．
推而廣之，即：每次“生長”的正方形面積和為1，“生長”了2019次后形成的圖形中所有的正方形的面積和是2020×1=2020．
故選：D．