Question

21、如圖，△ABC和△ADE都是等邊三角形，點D在BC邊上，AB邊上有一點F，且BF=DC，連接EF、EB．
（1）求證：△ABE≌△ACD；
（2）求證：四邊形EFCD是平行四邊形．

Answer 1

分析：因為△ABE和△ACD中的邊是等邊三角形△ABC和△ADE一些邊，因此很容易證得兩組對應邊相等，再根據等邊三角形中角都為60°，可證得一組對應角相等，從而證得全等；根據平行四邊形的判定一組對邊平行且相等是平行四邊形，根據條件可證EF∥DC，EF=DC．

解答：證明：（1）∵△ABC和△ADE都是等邊三角形，
∴AE=AD，AB=AC，∠EAD=∠BAC=60°，
∴∠EAD-∠BAD=∠BAC-∠BAD，
即：∠EAB=∠DAC，
∴△ABE≌△ACD（SAS）；

（2）證明：∵△ABE≌△ACD，
∴BE=DC，∠EBA=∠DCA，
又∵BF=DC，
∴BE=BF．
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠DCA=60°，
∴△BEF為等邊三角形．
∴∠EFB=60°，EF=BF
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ABC=60°，
∴∠ABC=∠EFB，
∴EF∥BC，即EF∥DC，
∵EF=BF，BF=DC，
∴EF=DC，
∴四邊形EFCD是平行四邊形．

點評：本題考查全等三角形的判定和性質，以及平行四邊形的判定定理．