Question

已知如圖，△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=3

3

，以BC邊上點(diǎn)O為圓心，以O(shè)B為半徑的圓分別交邊AB、BC于點(diǎn)M、N．連接MN．
（1）請(qǐng)你探究：四條線段AB、BM、BC、BN之間的關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（2）若M是AB邊的中點(diǎn)，請(qǐng)你判斷CM與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（3）設(shè)⊙O的半徑為r，若改變點(diǎn)O在BC上的位置，試探究當(dāng)半徑r滿足什么條件時(shí)，⊙O與邊AC只有一個(gè)公共點(diǎn)．（直接寫出答案）

Answer 1

分析：（1）根據(jù)已知利用有兩組角相等的兩個(gè)三角形相似得到△BMN∽△BCA，從而不難得到四個(gè)邊之間的關(guān)系；
（2）連接OM，根據(jù)已知利用三角函數(shù)可得到△ACM是等邊三角形，進(jìn)而可推出OM⊥CM，因?yàn)镺M是圓的半徑，所以CM與⊙O相切；
（3）當(dāng)圓以BC的一半為半徑或與邊AC相切時(shí)，⊙O與邊AC只有一個(gè)公共點(diǎn)．

解答：解：（1）

AB

NB

=

BC

BM

∵BN是直徑，
∴∠NMB=90°∠ACB=90°
∴∠NMB=∠ACB，∠B=∠B
∴△BMN∽△BCA
∴

AB

NB

=

BC

BM

；（3分）

（2）連接OM
在Rt△ACB中，tanB=

AC

BC

=

1

3

∴∠B=30°
∴∠A=90°-30°=60°
∵M(jìn)是AB的中點(diǎn)
∴MC=MA=

1

2

AB
∴△ACM是等邊三角形
∴∠CMA=60°
∴∠OMB=∠B=30°
∴∠CMO=180°-60°-30°=90°
∴OM⊥CM
∴CM是⊙O的切線；（4分）

（3）

3

2

3

≤r≤2

3

（2分）

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查學(xué)生對(duì)切線的判定，相似三角形的判定及圓與直線的位置關(guān)系等知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用能力．