Question

如圖，直線L₁交直線L₂于y軸上一點A（0，6），交x軸上另一點C．l₂交x軸于另一點B，二次函數y=ax²-6ax-16a （a＞0）的圖象過B、C兩點，點P是線段OC上由O向C移動的動點，線段OP=t（1＜t＜8）
（1）t為何值時，P為圓心OP為半徑的圓與l₁相切？
（2）設拋物線對稱軸與直線l₁相交于M，請在x軸上求一點N．使△AMN的周長最小．
（3）設點Q是AC上自C向A移動的一動點，且CQ=OP=t．若△PQC的面積為s，求S與t的函數關系式，當△PQC為等腰三角形時，請直接寫出t的值．

Answer 1

解：（1）拋物線的解析式中，當y=0時，0=a（x²-6x-16），解得：x₁=-2，x₂=8；
∴B（-2，0）、C（8，0）．
過P作PD⊥AC于D，若⊙P與直線l₁相切，則 PD=OP=t；
易知Rt△CPD∽Rt△CAO
∴=，即=
解得：t=3．

（2）由（1）知：拋物線的對稱軸 x=3；
由A（0，6）、C（8，0）得：直線AC y=-x+6，則 M（3，）．
△AMN中，AM長為定值，若△AMN的周長最小，那么 AN+MN 的值最小；
取點M關于x軸的對稱點M'，則M'（3，-）；
設直線AM'的解析式為：y=kx+6，則：
3k+6=-，k=-
∴直線AM'：y=-x+6
當y=0時，x=；即 N（，0）．

（3）過Q作QE⊥x軸于點E，則 QE=QE=t，CE=QC=t，OE=OC-CE=8-t；
∴Q（8-t，t）．
①PC=OC-OP=8-t；
則 S=PC•QE=×（8-t）×t=-t²+t（1＜t＜8）．
②PQ²=（8-t-t）²+（t）²=t²-t+64，PC²=（8-t）²=t²-16t+64，CQ²=t²；
當PQ=PC時，t²-t+64=t²-16t+64，解得：t₁=0（舍去），t₂=；
當PQ=CQ時，t²-t+64=t²，解得：t₁=8（舍去），t₂=；
當PC=CQ時，t²-16t+64=t²，解得：t=4．
∴當△PQC為等腰三角形時，t₁=、t₂=、t₃=4．
分析：（1）過P作l₁的垂線，若⊙P與直線l₁相切，那么P到直線l₁的距離等于⊙P的半徑即OP的長，然后通過構建的相似三角形直接求出⊙P的半徑即可．
（2）取M關于x軸的對稱點，連接該對稱點和點A，該直線與x軸的交點即為所求的點N．
（3）首先求出點Q的坐標，然后能求出PQ的長；①以CP為底、Q的縱坐標的絕對值為高能得到關于s、t的函數關系式；②用t列出線段CP、CQ、PQ的長，若△PQC為等腰三角形，可根據CP=CQ或CQ=PQ或CP=PQ三種情況列方程求出t的值．
點評：該二次函數綜合題涵蓋了直線與圓的位置關系、圖形面積的求法以及等腰三角形的判定等知識．（3）題在判定等腰三角形時，要明確不同的腰和底進行分類討論，以免漏解．