Question

為進一步落實《中華人民共和國民辦教育促進法》，某市教育局拿出了b元資金建立民辦教育發展基金會，其中一部分作為獎金發給了n所民辦學校．獎金分配方案如下：首先將n所民辦學校按去年完成教育、教學工作業績（假設工作業績均不相同）從高到低，由1到n排序，第1所民辦學校得獎金

b

n

元，然后再將余額除以n發給第2所民辦學校，按此方法將獎金逐一發給了n所民辦學校．
（1）請用n、b分別表示第2所、第3所民辦學校得到的獎金；
（2）設第k所民辦學校所得到的獎金為a_k元（1≤k≤n），試用k、n和b表示a_k（不必證明）；
（3）比較a_k和a_k+1的大小（k=1，2，…，n-1），并解釋此結果關于獎金分配原則的實際意義．

Answer 1

（1）因為第1所學校得獎金a₁=

b

n

，所以第2所學校得獎金a₂=

1

n

（b-

b

n

）=

b

n

（1-

1

n

）
所以第3所學校得獎金a₃=

1

n

[b-

b

n

-

b

n

(1-

1

n

)]=

b

n

[1-

1

n

-

1

n

(1-

1

n

)]=

b

n

(1-

1

n

)2

（2）由上可歸納得到a_k=

b

n

(1-

1

n

)k-1

（3）因為a_k=

b

n

(1-

1

n

)k-1，a_k+1=

b

n

(1-

1

n

)k，所以a_k+1=（1-

1

n

）a_k＜a_k
結果說明完成業績好的學校，獲得的獎金就多．