Question

為進一步落實《中華人民共和國民辦教育促進法》，某市教育局拿出了b元資金建立民辦教育發展基金會，其中一部分作為獎金發給了n所民辦學校．獎金分配方案如下：首先將n所民辦學校按去年完成教育、教學工作業績（假設工作業績均不相同）從高到低，由1到n排序，第1所民辦學校得獎金元，然后再將余額除以n發給第2所民辦學校，按此方法將獎金逐一發給了n所民辦學校．
（1）請用n、b分別表示第2所、第3所民辦學校得到的獎金；
（2）設第k所民辦學校所得到的獎金為a_k元（1≤k≤n），試用k、n和b表示a_k（不必證明）；
（3）比較a_k和a_k+1的大小（k=1，2，…，n-1），并解釋此結果關于獎金分配原則的實際意義．

Answer 1

解：（1）因為第1所學校得獎金a₁=，所以第2所學校得獎金a₂=（b-）=（1-）
所以第3所學校得獎金a₃===

（2）由上可歸納得到a_k=

（3）因為a_k=，a_k+1=，所以a_k+1=（1-）a_k＜a_k
結果說明完成業績好的學校，獲得的獎金就多．
分析：（1）第2所民辦學校得到的獎金為：（總資金-第一所學校得到的獎金）÷n；
第3所民辦學校得到的獎金為：（總資金-第一所學校得到的獎金-第2所民辦學校得到的獎金）÷n；
（2）由（1）得k所民辦學校所得到的獎金為a_k=總資金÷n×（1-）ⁿ；
（3）用a_k表示出a_k+1進行比較即可．
點評：這是一道滲透新課程理念的好題．它以獎金發放為背景，以列代數式、因式分解、代數式的大小比較等相關知識為載體，考查了學生數感、符號感、數學建模能力、觀察分析、歸納推理等能力．本題得分率較低，究其原因主要有：一是部分學生不能將文字語言轉換成符號語言，二是部分學生不能在代數式的整理變形過程中總結發現規律．解決本題的關鍵一是充分理解題意，二要表示第k所民辦學校所得到的獎金，就要在第2所、第3所民辦學校得到的獎金（代數式）上發現規律，三要提高對代數式變形的技能．