Question

如圖，拋物線經過A（4，0），B（1，0），C（0，-2）三點．
（1）求出拋物線的解析式；
（2）P是拋物線上一動點，過P作PM⊥x軸，垂足為M，是否存在P點，使得以A，P，M為頂點的三角形與△OAC相似？若存在，請求出符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）在直線AC上方的拋物線上有一點D，使得△DCA的面積最大，求出點D的坐標．

Answer 1

分析：（1）本題需先根據已知條件，過C點，設出該拋物線的解析式為y=ax²+bx-2，再根據過A，B兩點，即可得出結果．
（2）本題首先判斷出存在，首先設出橫坐標和縱坐標，從而得出PA的解析式，再分三種情況進行討論，當

AM

PM

=

AO

OC

=

2

1

時和

AM

PM

=

OC

OA

=

1

2

時，當P，C重合時，△APM≌△ACO，分別求出點P的坐標即可．
（3）本題需先根據題意設出D點的橫坐標和D點的縱坐標，再過D作y軸的平行線交AC于E，再由題意可求得直線AC的解析式為，即可求出E點的坐標，從而得出結果即可．

解答：解：（1）∵該拋物線過點C（0，-2），
∴可設該拋物線的解析式為y=ax²+bx-2．
將A（4，0），B（1，0）代入，
得

16a+4b-2=0 a+b-2=0.

，
解得

a=- 1 2 b= 5 2 .

，
∴此拋物線的解析式為y=-

1

2

x2+

5

2

x-2；

（2）存在．如圖，設P點的橫坐標為m，
則P點的縱坐標為-

1

2

m2+

5

2

m-2，
當1＜m＜4時，AM=4-m，PM=-

1

2

m2+

5

2

m-2．
又∵∠COA=∠PMA=90°，
∴①當

AM

PM

=

AO

OC

，
∵C在拋物線上，
∴OC=2，
∵OA=4，
∴

AM

PM

=

AO

OC

=

2

1

，
∴△APM∽△ACO，
即4-m=2(-

1

2

m2+

5

2

m-2)．
解得m₁=2，m₂=4（舍去），
∴P（2，1）．
②當

AM

PM

=

OC

OA

=

1

2

時，△APM∽△CAO，即2(4-m)=-

1

2

m2+

5

2

m-2．
解得m₁=4，m₂=5（均不合題意，舍去）
∴當1＜m＜4時，P（2，1），

當m＞4時，AM=m-4，PM=

1

2

m²-

5

2

m+2，
①

PM

AM

=

OC

OA

=

1

2

或②

PM

AM

=

OA

OC

=2，
把P（m，-

1

2

m²+

5

2

m-2）代入得：2（

1

2

m²-

5

2

m+2）=m-4，2（m-4）=

1

2

m²-

5

2

m+2，
解得：第一個方程的解是m=-2-2

3

＜4（舍去）m=-2+2

3

＜4（舍去），
第二個方程的解是m=5，m=4（舍去）
求出m=5，-

1

2

m²+

5

2

m-2=-2，
則P（5，-2），

當m＜1時，AM=4-m，PM=

1

2

m²-

5

2

m+2．
①

PM

AM

=

OC

OA

=

1

2

或

PM

AM

=

OA

OC

=2，
則：2（

1

2

m²-

5

2

m+2）=4-m，2（4-m）=

1

2

m²-

5

2

m+2，
解得：第一個方程的解是m=0（舍去），m=4（舍去），第二個方程的解是m=4（舍去），m=-3，
m=-3時，-

1

2

m²+

5

2

m-2=-14，
則P（-3，-14），
綜上所述，符合條件的點P為（2，1）或（5，-2）或（-3，-14），
（3）如圖，設D點的橫坐標為t（0＜t＜4），則D點的縱坐標為|-

1

2

t2+

5

2

t-2|．
過D作y軸的平行線交AC于E．
由題意可求得直線AC的解析式為y=

1

2

x-2．
∴E點的坐標為(t，

1

2

t-2)．
∴DE=-

1

2

t2+

5

2

t-2-(

1

2

t-2)=-

1

2

t2+2t，
∴S_△DAC=S_△DCE+S_△DEA=

1

2

DE•h+

1

2

DE•（4-h）=

1

2

DE•4，
∴S△DAC=

1

2

×(-

1

2

t2+2t)×4=-t2+4t=-(t-2)2+4，
∴當t=2時，△DAC面積最大，
∴D（2，1）．

點評：本題主要考查了二次函數解析式的確定、函數圖象交點的求法等知識點，主要考查學生數形結合的數學思想方法．